Доп. главы по алгебре - Кольцо

Кольцо

Кольцо – это множество \(A\) с двумя бинарными операциями (сложением и умножением), для которых выполнены следующие аксиомы:

1. относительно сложения, \(A\) – абелева группа,

2. умножение дистрибутивно:

   \[𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐\] \[(𝑏 + 𝑐) \cdot 𝑎 = 𝑏 \cdot 𝑎 + 𝑐 \cdot 𝑎\]

+	·	·(+)
结合律	结合律	分配律
单位元
逆元
交换律

环结构是在阿贝尔群的基础上，引入了第二种运算操作，一般称之为“乘法”，而原有的第一种运算操作一般称之为“加法”。于是，加法下集合构成一个阿贝尔群，而乘法下集合满足结合律，进而加法在乘法的作用下满足分配律。

特别的，满足加法结合律的集合被称为“半群”，满足加法结合律并具备单位元的集合被称为“幺半群”，在此基础上每个元素都存在逆元的幺半群被称为“群”。

Алгебра

Алгебра над полем \(\mathbb{K}\) – это множество \(A\) с тремя операциями: сложение, умножение, умножение на элементы поля \(\mathbb{K}\) (скаляры), для которых выполнены следующие аксиомы:

1. относительно сложения и умножения на скаляры, \(A\) – векторное пространство над \(\mathbb{K}\),

2. умножение билинейно, т.е. выполнены свойства:

   1. дистрибутивность

      \[𝑎 \cdot (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐\] \[(𝑏 + 𝑐) \cdot 𝑎 = 𝑏 \cdot 𝑎 + 𝑐 \cdot 𝑎\]

   2. однородность: \(\forall a,b \in A,\forall \lambda \in \mathbb{K}\).

   \[(\lambda \cdot a )\cdot b = a \cdot (\lambda \cdot b)=\lambda \cdot (a \cdot b)\]

当不关注代数结构上的标量域时，剩下的运算操作是符合环结构的定义的，所以说常将代数结构和环结构放在一起讨论定义，如：子环（子代数），环（代数）的同态与直和等等。

Некоторые определения и свойства, связанные с кольцами (алгебраически)

Подкольцо

Подкольцо (подалгбра) - подмножество кольца (алгбры), которые само является кольцом (алгеброй) относитльно тех же операций (ограничения операций).

Идеалы

Идеал - это подмножество \(I \subset A\), для которого:

1. \(I\) - подгруппа относительно сложения (для колец), – векторное подпространство (для алгебр).
2. \(A\cdot I\subseteq I\) – левый идеал, \(I\cdot A\subseteq I\) – правый идеал, \(A\cdot I\subseteq I, I\cdot A\subseteq I\) - двусторонние идеалы, аналогом нормальных подгрупп. Обозначение для двустороннего идеала: \(I \lhd A\).

这里的左乘和右乘可以理解成描述环在乘法中的位置，而不是这个子环的位置。由于域上代数也是一种环，所以也符合这些定义。

[例子] 整数环\(\mathbb{Z}\)和它的一个子集\(n\mathbb{Z}\)，这个子集表示所有能被整数\(n\)整除的整数的集合，如：\(2\mathbb{Z}=\{\cdots,-4,-2,0,2,4,\cdots\}\)，这里\(2\mathbb{Z}\)就是\(\mathbb{Z}\)的一个双边理想（加法下是一个子群，乘法下符合左右乘的规则）。

Факторкольцо

Пусть \(A\) – кольцо или алгебра, \(I \lhd A\), \(A/I=\{a+I\|a\in A\}\) - факторгруппа по сложению.

Операция умножения: \(\forall a,b\in A, (a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b +I\), умножение на скаляры (для алгебр): \(\forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda (a+I)=\lambda a+I\).

由于理想\(I\)对环\(A\)中的加法和乘法是封闭的，所以\(a\cdot I\)，\(b\cdot I\)，\(I\cdot I\)的结果都是\(I\)。

在\(A/I\)中的加法定义为陪集的加法，乘法运算即\(\forall a,b\in A, (a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b +I\)，这保证了\(A/I\)在乘法下也是封闭的，代数上会多出一个标量乘法，定义为先将元素\(a\)与\(\lambda\)相乘再加上一个\(I\)形成一个新的陪集。